Función de distribución de Boltzmann (II). Simulación

Actividades

En primer lugar, se define el sistema o sistemas de partículas, su tamaño y distribución inicial de energía entre las moléculas.

Las moléculas aparecen representadas por cuadrículas alternadas de color blanco y amarillo en el applet. Un número en cada cuadrícula señala el valor de su energía.

Al pulsar el botón titulado Gráfica, se representa la distribución teórica de equilibrio y se compara con la distribución actual del sistema después de un cierto tiempo medido en términos de número de choques por partícula. Podemos apreciar, si el sistema ha alcanzado, aproximadamente, la situación de equilibrio, si la curva discontinua se ajusta a la continua.

El programa permite manejar dos subsistemas especificando el tamaño (número de partículas) y la distribución inicial de energía entre ellas, de modo que se puede observar su evolución hacia el estado de equilibrio de:

• Dos sistemas aislados comparando su comportamiento.
• Dos sistemas puestos en contacto térmico.

Se ponen en contacto dos subsistemas, pulsando en el botón titulado Mezcla y se observa el intercambio de energía entre los mismos hasta que alcanzan la situación de equilibrio a la misma temperatura.

Ejemplos

1. Mostrar que el estado de equilibrio de un sistema no depende de la distribución inicial de energía entre las partículas.

• Consideremos que los dos sistemas tienen el mismo número de partículas 200.
• Se da la misma energía a todas las partículas del primer subsistema, por ejemplo 3.
• Para el segundo subsistema, la energía inicial de las partículas se distribuye al azar entre límites especificados, por ejemplo 1 y 5.

Observar

• La distribución actual y la teórica de equilibrio. ¿El sistema está lejos o cerca del equilibrio?.
• El crecimiento de la entropía, hasta alcanzar un máximo.

2. Mostrar que la temperatura no depende del número de partículas que tiene el sistema, la energía total y la entropía son proporcionales al número de partículas.

• Un sistema formado por 100 partículas y otro sistema formado por 300.
• Ambos con la misma distribución inicial de energía, todas las partículas con 3 unidades de energía.

Comprobar

• Comparar la distribución de las partículas entre las distintas energías y la distribución teórica ambas en el equilibrio.

3. Relacionar la temperatura del sistema con la pendiente de la distribución de partículas.

• Ambos sistemas con el mismo número de partículas, por ejemplo 200.
• Sea 3 la energía de cada una de las partículas del primer sistema.
• Sea 5 la energía de cada una de las partículas del segundo sistema

Lo que corresponde a su vez a una temperatura, en unidades de energía de 3 y 5 respectivamente.

Observar:

• Que en el equilibrio las pendientes de las distribuciones son distintas siendo más aguda la curva correspondiente al sistema con menos temperatura.

La explicación es la siguiente: las partículas del sistema tienen acceso a todos los estados posibles de energía, compatible con una energía total dada. En el sistema de temperatura elevada, las partículas pueden acceder a niveles de mayor energía con una probabilidad comparativamente mayor que el sistema de más baja temperatura, en el que las partículas están situadas preferentemente en los niveles de energía más baja.

4. Poner dos sistemas del mismo tamaño en contacto térmico.

• Ambos sistemas con el mismo número de partículas, por ejemplo 200.
• Sea 1 la energía de cada una de las partículas del primer sistema.
• Sea 3 la energía de cada una de las partículas del segundo sistema.

Lo que corresponde a su vez a una temperatura, en unidades de energía de 1 y 3 respectivamente.

Comprobar:

• La temperatura de equilibrio es igual a la media aritmética de las temperaturas de ambos sistemas.
• Se produce un flujo neto de energía desde el sistema de más temperatura al de menos
• Cuando se alcanza la temperatura de equilibrio, continúa el intercambio de energía en ambas direcciones, si bien el flujo neto es nulo.

5. Poner dos subsistemas de distinto tamaño en contacto térmico.

• Un primer sistema de 300 partículas
• Un segundo sistema de 100 partículas
• Sea 1 la energía de cada una de las partículas del primer sistema.
• Sea 3 la energía de cada una de las partículas del segundo sistema

Comprobar:

La temperatura de equilibrio T_eq depende de la temperatura y del número relativo de partículas en cada sistema. Se obtiene mediante la media ponderada

Se produce un flujo neto de energía desde el sistema de más temperatura al de menos, no del de más energía al de menos energía.

6. Realizar y comentar otras experiencias.

Se introduce el número de partículas de cada uno de los sistemas en el control de edición titulado Número de partículas.

Debajo de la etiqueta denominada Situación inicial, se puede optar, marcando el botón de radio correspondiente:

• Todas las partículas con la misma energía, se introduce a continuación la energía de las partículas.
• Energías distintas para cada una de las partículas, marcando el botón de radio Al azar entre los límites. A continuación, se introduce los límites inferior y superior, de la energía seleccionada al azar de cada partícula.

Se pulsa el botón titulado Empieza, y observamos como van cambiando la energías de las partículas de cada uno de los sistemas como resultado de los choques entre las mismas.

Se puede parar momentáneamente el proceso, pulsando en el botón titulado Pausa. Se reanuda, pulsando el mismo botón titulado ahora Continua.

Se puede observar el efecto de cada choque, pulsando sucesivamente en el botón titulado Paso.

Se examina la distribución de las partículas entre los distintos estados de energía pulsando el botón titulado Gráfica. Se puede comparar la distribución actual, en un diagrama de barras, con la curva continua que representa la distribución teórica de equilibrio. También, se puede examinar el valor de las magnitudes: temperatura, energía total del sistema, y entropía de cada uno de los sistemas en un instante que se mide en términos del número de choques por partícula.

En cualquier momento, se puede pulsar el botón titulado Mezcla, para poner en contacto los dos subsistemas, a fin de que interaccionen las partículas de ambos a través de la pared común. Pulsando el botón titulado Gráfica, se examina el estado de cada uno de los dos subsistemas, así como del sistema en su conjunto.

Como vemos, el programa permite examinar tanto el sistema en su conjunto (macroscópico), como el comportamiento de cada partícula individual (microscópico).